Nombre de diagonals d'un polígon

Les diagonals que surten d’un vèrtex d’un polígon de n costats són els segments que van des d'aquest vèrtex a qualsevol altre vèrtex no adjacent del polígon. Per tant, hi ha  n-3 diagonals confluents en aquest vèrtex. Considerant els n vèrtexs del polígon i tenint en compte que cada diagonal apareix dins del conjunt de diagonals de 2 vèrtexs, el nombre total de diagonals serà:

 

En 1654, Pascal  va expressar com a nombres combinatoris els nombres del triangle de Tartaglia

Aquests nombres són els coeficients del desenvolupament de les potències successives de l'anomenat binomi de Newton. 

El terme superior + 1 és el no. de fila on és. Per a la primera fila serà el 0. 
El terme inferior +1 és la l'ordre del nombre en la fila.  En el número més a l’esquerra és el 0.

Considerem els nombres (1, 3, 6, 10, 5, ...) de la diagonal, en els que el terme superior sigui dues unitats major que l’inferior. Observarem que el nombre combinatori corresponent, essent n  la fila enèsima del triangle de Tartaglia, s’expressa així:

   

i és l’expressió que havíem trobat per al nombre total de diagonals + 1,

 

Per tant, si es vol deduir el nombre total de diagonals d’un polígon de n costats a partir del triangle de Tartaglia, sols hem de prendre el terme de la 3ª diagonal per la dreta (la diagonal dels nombres triangulars: 1, 3, 6, 10, 15, ...), corresponent a la enèsima fila i restar-li una unitat.

Per a un triangle, 1 – 1 = 0, no tenim cap diagonal. Per a un quadrilàter, tenim 3 – 1 = 2 diagonals. Per a un pentàgon, 6 – 1 = 5 diagonals. Per a un hexàgon, 10 – 1 = 9 diagonals. Per a un heptàgon, 15 – 1 = 14 diagonals i així successivament.